Estadistica

Problemas exponenciales

En la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, aprendimos a obtener la fórmula de funciones exponenciales de acuerdo a situaciones planteadas. Ahora que sabemos cómo obtener las fórmulas vamos a utilizarlas para resolver problemas de la vida real.

Ejemplo 1:

Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años.

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?


2. ¿Cuántas aves hay después de 4 años?


3. ¿Después de cuanto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?

Solución:

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?
   Si x representa el número de años transcurridos, según lo aprendido en la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, sabemos que la fórmula para la población es:
   $fx=50\times 3x2$


2. ¿Cuántas aves hay después de 4 años?
   Usando la fórmula para x = 4, la población será:
   $$\begin{array}{}f4=50\times 342=50\times 32=450\end{array}$$
   Después de 4 años habrá 450 aves.


3. ¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?
   Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1000:
   $$\begin{array}{}fx=50\times 3x21000=50\times 3x220=3x2\ln (20)=\ln (3x2)\ln \left(20\right)=x2\ln \left(3\right)2\ln \left(20\right)\ln \left(3\right)=xx=5.4\end{array}$$
   La población de aves será de 1000 individuos después de 5.4 años.

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Ejemplo 2:
Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada 5 horas.

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente ?
2. ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?
3. ¿Después de cuanto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente?

Solución:

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente ? Si x representa el número de horas transcurridas, la fórmula para la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo del paciente es:
   
   $$f x = 50 × 13 x 5