Matematicas

Ecuaciones de 3 incógnitas

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Resolución por el método de Gauss

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'₂ = E₂ − 3E₁

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'₃ = E₃ − 5E₁

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''₃ = E'₃ − 2E'₂

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

z = 1

−y + 4 · 1 = −2        y = 6

x + 6 − 1 = 1          x = −4

 

Sumas y restas de fracciones algebraicas

Empezamos con la suma y resta de fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador, como por ejemplo ésta:

<img class="aligncenter wp-image-7868 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-1-2.png" alt="suma y resta de fracciones algebraicas ejercicios resueltos" width="174" height="60" srcset="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-1-2.png 174w, https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-1-2-100x34.png 100w" sizes="(max-width: 174px) 100vw, 174px" />

En este caso, se mantiene el denominador y se opera con los numeradores. Podemos dejar una sola fracción con el denominador común y con los términos de ambos numeradores:

<img class="aligncenter wp-image-7867 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-2-2.png" alt="suma y resta de fracciones algebraicas con diferente denominador" width="151" height="60" srcset="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-2-2.png 151w, https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-2-2-150x60.png 150w, https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-2-2-100x40.png 100w" sizes="(max-width: 151px) 100vw, 151px" />

Y después agrupar términos semejantes en el numerador:

<img class="aligncenter wp-image-7866 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-3-2.png" alt="suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador" width="92" height="60" />

Sumar y restar fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador es así de sencillo. Sin embargo, hay que tener mucho cuidado en la resta de fracciones algebraicas, ya que el signo menos, afecta a todos los términos del numerador de la fracción que tenga detrás.

Vamos a ver un ejemplo con resta de fracciones algebraicas para que lo entiendas mejor:

<img class="aligncenter wp-image-7865 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-4-2.png" alt="suma y resta de fracciones algebraicas con el mismo denominador" width="248" height="65" srcset="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-4-2.png 248w, https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-4-2-100x26.png 100w" sizes="(max-width: 248px) 100vw, 248px" />

Tenemos el mismo denominador y por tanto, podemos unir todos los numeradores en uno sólo. Pero ahora, delante de la última fracción tenemos un signo menos y como te comentaba antes, afecta a los dos términos del numerador de la fracción que tiene detrás. Por tanto, para que siga siendo así, los términos afectados por el signo menos deben ir encerrados entre paréntesis:

<img class="aligncenter wp-image-7902 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-38-1.png" alt="suma y resta de fracciones algebraicas polinomios" width="235" height="65" srcset="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-38-1.png 235w, https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-38-1-100x28.png 100w" sizes="(max-width: 235px) 100vw, 235px" />

En el siguiente paso, eliminamos el paréntesis, cambiando de signo a los términos que tiene dentro:

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Y por último, agrupamos términos semejantes en el numerador:

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Un error muy común es no encerrar entre paréntesis los términos del numerador de la fracción que está precedida por un signo menos. En caso de no hacerlo, solamente le cambiamos el signo al primer término, lo cual es un error:

<img class="aligncenter wp-image-7901 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/suma-y-resta-39-1.png" alt="suma y resta de fracciones algebraicas paso a paso" width="369" height="65" />

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

<="">

Ahora te voy a explicar cómo sumar y restar fracciones algebraicas con diferente denominador.

Ten en cuenta que sólo se pueden sumar o restar fracciones algebraicas que tengan el mismo denominador, por lo que si tienen distinto denominador, antes hay que reducirlas a común denominador, tal y para sumar y restar fracciones numéricas con distinto denominador.

Obtenemos el denominador común calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Por ejemplo, tenemos sumas y restas de fracciones algebraicas, cuyos denominadores no son iguales:

 

 

 simplificación de fracciones

Las fracciones algebraicas se multiplican igual que las fracciones numéricas, es decir, se multiplican en línea: numerador por numerador y denominador por denominador, solo que en este caso, en vez de números tenemos polinomios:

<img class="aligncenter wp-image-8312 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-17.png" alt="multiplicacion de fracciones algebraicas" width="260" height="60" srcset="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-17.png 260w, https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-17-100x23.png 100w" sizes="(max-width: 260px) 100vw, 260px" />

Hay que tener en cuenta también otra pequeña diferencia (aunque es sólo una recomendación) que te paso a explicar:

En la multiplicación de fracciones numéricas, se multiplican los números en línea y al final se simplifica la fracción. Con fracciones algebraicas, podemos hacerlo igual, pero las operaciones se complicarían demasiado.

Así que, lo que yo recomiendo es que antes de multiplicar, descompongamos los polinomios y eliminemos los factores que se repitan en el numerador y el denominador, es decir, que simplifiquemos antes de multiplicar.

Una vez hemos eliminado todos los factores repetidos, ya podemos multiplicar tanto en el numerador como en el denominador, para mostrarlo en el resultado. Es decir, multiplicamos al final.

Vamos a resolver un ejemplo paso a paso, para que te quede más claro lo que te acabo de decir.

Tenemos la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas:

<img class="aligncenter wp-image-8311 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-1.png" alt="division de fracciones algebraicas" width="159" height="63" srcset="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-1.png 159w, https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-1-100x40.png 100w" sizes="(max-width: 159px) 100vw, 159px" />

Al ser una multiplicación de fracciones, multiplicamos en línea, es decir, numerador por numerador y denominador por denominador, pero al ser polinomios, solamente lo dejamos indicado, no los multiplicamos:

<img class="aligncenter wp-image-8310 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-2.png" alt="multiplicacion y division de fracciones algebraicas" width="188" height="63" srcset="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-2.png 188w, https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-2-100x34.png 100w" sizes="(max-width: 188px) 100vw, 188px" />

Antes de multiplicar, vamos a descomponer los polinomios que se puedan descomponer. Empezamos por el polinomio correspondiente al numerador de la primera fracción:

<img class="aligncenter wp-image-8309 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-3.png" alt="multiplicación de fracciones algebraicas" width="294" height="29" srcset="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-3.png 294w, https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-3-100x10.png 100w" sizes="(max-width: 294px) 100vw, 294px" />

Descomponemos también el polinomio del denominador de la primer fracción:

<img class="aligncenter wp-image-8308 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-4.png" alt="multiplicacion de fracciones algebraicas ejercicios resueltos" width="143" height="27" srcset="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-4.png 143w, https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-4-100x19.png 100w" sizes="(max-width: 143px) 100vw, 143px" />

Los otros dos polinomios no se pueden descomponer, al ser ya de grado 1.

Si quieres aprender cómo descomponer polinomios paso a paso lo tienes explicado en el Curso de Polinomios.

Sustituimos los polinomios por sus correspondientes descomposiciones:

<img class="aligncenter wp-image-8307 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-5.png" alt="division de fracciones algebraicas ejercicios resueltos" width="243" height="60" srcset="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-5.png 243w, https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-5-100x25.png 100w" sizes="(max-width: 243px) 100vw, 243px" />

Ahora simplificamos la fracción algebraica, eliminando los factores que se repiten en el numerador y en el denominador:

<img class="aligncenter wp-image-8314 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-18.png" alt="ejercicios de fracciones algebraicas multiplicacion y division" width="243" height="60" srcset="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-18.png 243w, https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-18-100x25.png 100w" sizes="(max-width: 243px) 100vw, 243px" />

Y nos queda:

<img class="aligncenter wp-image-8306 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-6.png" alt="multiplicacion y division de fracciones algebraicas ejercicios resueltos" width="111" height="27" srcset="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-6.png 111w, https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-6-100x24.png 100w" sizes="(max-width: 111px) 100vw, 111px" />

Que multiplicamos para obtener el resultado final:

<img class="aligncenter wp-image-8305 size-full" src="https://ekuatio.com/wp-content/uploads/multiplicacion-y-division-7.png" alt="multiplicacion y division de expresiones algebraicas" width="73" height="27" />

Si hubiésemos multiplicado al principio, al final nos hubieran quedado dos polinomios de mayor grado, los cuales hubiera sido mucho más difícil de factorizar.

Siguiendo este procedimiento, llegamos al resultado mucho más directamente.

Vamos a ver ahora la división de fracciones algebraicas.

 

 

 

Multiplicación de fracciones complejas

 

Las fracciones complejas son fracciones en las que el numerador, el denominador o ambos términos contienen fracciones a su vez. Por este motivo, hay quien las llama "fracciones compuestas". Simplificar fracciones complejas es un proceso que puede ser sencillo o difícil, en base al número de términos que haya en el numerador y en el denominador, a que haya términos variables o no y, si los hay, a la complejidad de los términos variables. Lee el paso 1 para empezar.

Pasos

Método 1

Simplificar fracciones complejas con el inverso multiplicativo

1. 
   
   
   <img alt="Imagen titulada Simplify Complex Fractions Step 1" src="https://www.wikihow.com/images_en/thumb/7/7b/Simplify-Complex-Fractions-Step-1.jpg/v4-728px-Simplify-Complex-Fractions-Step-1.jpg" width="728" height="546" class="whcdn content-fill" onload="WH.performance.clearMarks('image1_rendered'); WH.performance.mark('image1_rendered');">
   1
   Si es necesario, simplifica el numerador y el denominador para que haya una sola fracción en cada término. Las fracciones complejas no tienen por qué resultar difíciles de resolver. De hecho, las fracciones complejas en las que tanto el numerador como el denominador contienen una sola fracción suelen ser bastante fáciles de resolver. Por lo tanto, si el numerador o el denominador de la fracción compleja (o ambos términos) contienen varias fracciones o una combinación de fracciones y números enteros, simplifica el término para que quede una sola fracción tanto en el numerador como en el denominador. Puede que tengas que hallar el mínimo común denominador (MCD) de dos o más fracciones.
   • Por ejemplo, supongamos que queremos simplificar la fracción compleja (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Primero, simplificaríamos tanto el numerador como el denominador de la fracción compleja para que quede una sola fracción en cada término.
     • Para simplificar el numerador, utilizaremos u MCD de 15 multiplicando 3/5 por 3/3. El numerador se convertirá en 9/15 + 2/15 y, después de operar, en 11/15.
     • Para simplificar el denominador, utilizaremos un MCD de 70 multiplicando 5/7 por 10/10 y 3/10 por 7/7. El denominador se transformará en 50/70 - 21/70 y, después de operar, en 29/70.
     • Por lo tanto, la nueva fracción compleja será (11/15)/(29/70).
2.  
   
   
   
   <img alt="Imagen titulada Simplify Complex Fractions Step 2" src="https://www.wikihow.com/images_en/thumb/7/70/Simplify-Complex-Fractions-Step-2.jpg/v4-728px-Simplify-Complex-Fractions-Step-2.jpg" width="728" height="546" class="whcdn content-fill">
   2
   Invierte el denominador para hallar su inverso. Por definición, dividir un número entre otro es lo mismo que multiplicar el primer número por el inverso del segundo. Ahora que ya hemos obtenido una fracción compleja con una sola fracción tanto en el numerador como en el denominador, podemos utilizar esta propiedad de la división para simplificar la fracción compleja. Primero, halla el inverso de la fracción del denominador de la fracción compleja. Hazlo invirtiendo la fracción; es decir, colocando el numerador en lugar del denominador y viceversa.
   • En el ejemplo con el que estamos trabajando, la fracción del denominador de la fracción compleja (11/15)/(29/70) es 29/70. Para hallar su inverso, simplemente le "damos la vuelta", obteniendo 70/29.
     • Ten en cuenta que, si la fracción compleja tiene un número entero en el denominador, puedes expresarlo como una fracción y hallar su inverso de la misma forma. Por ejemplo, si la fracción compleja fuese (11/15)/(29), podemos definir el denominador como 29/1, cuyo inverso sería 1/29.
3. 
   
   
   <img alt="Imagen titulada Simplify Complex Fractions Step 3" src="https://www.wikihow.com/images_en/thumb/9/94/Simplify-Complex-Fractions-Step-3.jpg/v4-728px-Simplify-Complex-Fractions-Step-3.jpg" width="728" height="546" class="whcdn content-fill">
   3
   Multiplica el numerador de la fracción compleja por el inverso del denominador. Ahora que ya has obtenido el inverso del denominador de la fracción compleja, multiplícalo por el numerador para obtener una sola fracción simple. Recuerda que para multiplicar dos fracciones, simplemente hay que multiplicar los términos (el numerador de la nueva fracción es el producto de los numeradores de las dos antiguas, y lo mismo sucede con el denominador).
   • En el ejemplo que hemos puesto, multiplicaríamos 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 y 15 × 29 = 435. Por lo tanto, la nueva fracción simple será 770/435.
4. 
   
   
   <img alt="Imagen titulada Simplify Complex Fractions Step 4" src="https://www.wikihow.com/images_en/thumb/e/ef/Simplify-Complex-Fractions-Step-4-Version-2.jpg/v4-728px-Simplify-Complex-Fractions-Step-4-Version-2.jpg" width="728" height="546" class="whcdn content-fill">
   4
   Simplifica la nueva fracción hallando el máximo factor común. Ahora tenemos una sola fracción simple, por lo que lo único que queda por hacer es expresar los términos de la forma más sencilla. Halla el máximo factor común (MFC) del numerador y del denominador, y divide ambos términos por este número para simplificar la fracción.
   • Un factor común de 770 y 435 es 5. Por lo tanto, si dividimos el numerador y el denominador de la fracción entre 5, obtendremos 154/87. 154 y 87 no tienen ningún factor común, ¡así que ya hemos dado con el resultado final!
     Método 2
     Simplificar fracciones complejas con términos variables

1. 
   
   
   <img alt="Imagen titulada Simplify Complex Fractions Step 5" src="https://www.wikihow.com/images_en/thumb/6/64/Simplify-Complex-Fractions-Step-5.jpg/v4-728px-Simplify-Complex-Fractions-Step-5.jpg" width="728" height="546" class="whcdn content-fill">
   1
   Siempre que sea posible, utiliza el método del inverso multiplicativo explicado arriba. Para ser claros, prácticamente cualquier fracción compleja se puede simplificar reduciendo su numerador y su denominador a fracciones simples y multiplicando el numerador por el inverso del denominador. Las fracciones complejas con variables no son una excepción, aunque cuanto más complicadas sean las expresiones variables, más difícil será utilizar el inverso multiplicativo y más tiempo llevará. Para resolver fracciones complejas "sencillas" con variables, usar el inverso multiplicativo es una buena opción, pero para resolver las fracciones complejas con varias variables en el numerador y en el denominador puede que sea más fácil usar el método que describiremos a continuación.
   • Por ejemplo, (1/x)/(x/6) es fácil de simplificar con el inverso multiplicativo. 1/x × 6/x = 6/x². Aquí, no hay necesidad de utilizar ningún método alternativo.
   • Sin embargo, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) es más difícil de simplificar con el inverso multiplicativo. Reducir el numerador y el denominador de esta fracción compleja para que quede una sola fracción en cada término, multiplicar por el inverso y reducir el resultado a una expresión lo más sencilla posible sería un proceso bastante complicado. En este caso, puede ser más fácil usar el método alternativo que ahora explicaremos.
2. 
   
   
   <img alt="Imagen titulada Simplify Complex Fractions Step 6" src="https://www.wikihow.com/images_en/thumb/2/29/Simplify-Complex-Fractions-Step-6-Version-2.jpg/v4-728px-Simplify-Complex-Fractions-Step-6-Version-2.jpg" width="728" height="546" class="whcdn content-fill">
   2
   Si no es práctico usar el método del inverso multiplicativo, empieza hallando el mínimo común denominador de las fracciones de cada término de la fracción compleja. El primer paso en este método alternativo de simplificación es hallar el MCD de todas las fracciones que haya en los términos de la fracción compleja (tanto en el numerador como en el denominador. Normalmente, si una o varias fracciones tienen variables en sus denominadores, su MCD es simplemente el producto de sus denominadores
   • Esto es más fácil de comprender a través de un ejemplo. Intentemos simplificar la fracción compleja que hemos mencionado antes, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Las fracciones de los términos de la fracción compleja son (1)/(x+3) y (1)/(x-5). El denominador común de estas dos fracciones es el producto de sus denominadores: (x+3)(x-5).
3. 
   
   
   
   <img alt="Imagen titulada Simplify Complex Fractions Step 7" src="https://www.wikihow.com/images_en/thumb/f/fb/Simplify-Complex-Fractions-Step-7.jpg/v4-728px-Simplify-Complex-Fractions-Step-7.jpg" width="728" height="546" class="whcdn content-fill">
   3
   Multiplica el numerador de la fracción compleja por el MCD que acabas de hallar. Después, necesitaremos multiplicar los términos de la fracción compleja por el MCD de los números fraccionarios del numerador y del denominador. En otras palabras, multiplicaremos la fracción compleja al completo por (MCD)/(MCD). Podemos hacer esto fácilmente porque (LCD)/(LCD) es igual a 1. Primero, multiplica el numerador por sí mismo.
   • En el ejemplo, multiplicaríamos la fracción compleja, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), por ((x+3)(x-5))/((x+3)(x-5)). Tendremos que multiplicar el numerador y el denominador de la fracción compleja por (x+3)(x-5).
     • Primero, multipliquemos el numerador: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)
       • = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))
       • = (x-5) + (x(x² - 2x - 15)) - (10(x² - 2x - 15))
       • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
       • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
       • = x³ - 12x² + 6x + 145
4. 
   
   
   <img alt="Imagen titulada Simplify Complex Fractions Step 8" src="https://www.wikihow.com/images_en/thumb/4/44/Simplify-Complex-Fractions-Step-8.jpg/v4-728px-Simplify-Complex-Fractions-Step-8.jpg" width="728" height="546" class="whcdn content-fill">
   4
   Multiplica el denominador de la fracción compleja por el MCD, tal y como lo has hecho con el numerador. Continúa multiplicando la fracción compleja por el MCD que has hallado, siguiendo con el denominador. Multiplica cada término por el MCD.
   • El denominador de la fracción compleja, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), es x +4 +((1)/(x-5)). Lo multiplicaremos por el MCD que hemos hallado, (x+3)(x-5).
     • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)
     • = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
     • = x(x² - 2x - 15) + 4(x² - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
     • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x+3)
     • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x+3)
     • = x³ + 2x² - 22x - 57
5. 
   
   
   <img alt="Imagen titulada Simplify Complex Fractions Step 9" src="https://www.wikihow.com/images_en/thumb/6/68/Simplify-Complex-Fractions-Step-9.jpg/v4-728px-Simplify-Complex-Fractions-Step-9.jpg" width="728" height="546" class="whcdn content-fill">
   5
   Obtén una fracción nueva y simplificada a partir del numerador y del denominador que acabas de hallar. Después de multiplicar la fracción por la expresión (MCD/MCD) y de simplificarla combinando los términos, deberías obtener una fracción simple sin números fraccionarios. Como probablemente hayas notado, multiplicando el MCD de los términos fraccionarios pertenecientes a la fracción compleja, los denominadores de estas fracciones se anulan, dejando términos variables y números enteros en el numerador y en el denominador del resultado, pero ninguna fracción.
   • Utilizando el numerador y el denominador que hemos hallado, podemos construir una fracción equivalente a la fracción compleja inicial pero sin términos fraccionarios. El numerador obtenido es x³ - 12x² + 6x + 145, y el denominador es x³ + 2x² - 22x - 57, por lo que la nueva fracción es (x³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x²